미적분 기초: 극한과 미분

극한(Limit)의 정의

x가 a에 가까워질 때 f(x)의 값이 L에 가까워지면, f(x)의 x→a에서의 극한은 L이다.

lim(x→a) f(x) = L

극한의 성질

• 합의 극한: lim[f(x)+g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
• 곱의 극한: lim[f(x)·g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
• 몫의 극한: lim[f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (단, lim g(x) ≠ 0)

미분(Derivative)

함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 다음과 같이 정의됩니다.

f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h

주요 미분 공식

• 다항함수: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
• 합성함수: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
• 삼각함수: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x